これと同様な事がFirefoxのAdd-onであるPrismを使うとPuppyでも実現可能ではないかと試してみたところ、結構使えると思う。Prism自体はFirefoxがインストールされていなくても使える仕様だがPuppy4.3.1では起動できず、Lucid Puppy 5では起動可能だった。どちらもFirefoxをインストールしてAdd-onとしてPrismを使えば問題なく動作する。ただし、ディスクトップに自動でアイコンを作成する項目については、不可能なので自分で行う必要がある。
Prismとはwebアプリを使い易くする為の物で、ディスクトップにアイコンを作成し、そこからいきなりWebアプリのサイトへ飛んで行く事が出来るといった物です。実態はFirefoxのツールバーなどが省略された物のようです。別の方法でやろうと思えば出来るのだが、使い勝手が良い。Googleのアプリを集めたgOSみたいな物が初心者でも簡単に出来そうです。
ディスクトップにアイコンを作成するにはちょっと面倒ですが/root/Desktopの中に作成されたファイルをディスクトップにリンクする必要があります。アイコン画像も気に入った物を自分で探して来るのが良いと思います。
Prism起動 目的のサイトに行き以下を選択する。

Prism設定 ショートカットは作成されない。

/root/Desktopに作成されたxxx.desktopファイルで起動させる。

Gmailの場合起動させると以下の様な表示になる。

最初は大した物じゃないとバカにしていたが、使ううちに戻れなくなる気がする。
仕様環境 PuppyLinux4.3.1JP+ Firefox3.6